Інтеграл Бохнера — це інтеграл для функцій, які приймають значення на банаховому просторі. По суті він є аналогом інтеграла Лебега для векторозначних функцій.
Нехай маємо вимірний простір
, де
— σ-скінченна міра.
Означення
Функцію
, де
— банаховий простір, назвемо простою, якщо виконується наступне:
,
де
, а
— вимірні, мають скінченну міру і такі, що
.
Означення
Функцію
назвемо сильно вимірною, якщо існує послідовність простих функцій
така, що
Означення
Інтеграл Бохнера від простої функції
по простору
позначається символом
і визначається так:
Означення
Функція
називається інтегровною за Бохнером по простору
, якщо вона сильно вимірна і знайдеться послідовність простих функцій
така, що
та
Тоді існує границя
яка і називається інтегралом Бохнера від функції
на